lim[t→∞] (t^x)/(e^t) = 0 (xは正の実数) となること

Writer: admin Type: duanmo Date: 2019-03-05 00:00
lim[t→∞] (t^x)/(e^t) = 0 (xは正の実数) となることの証明を教えてください。分母が指数関数なので感覚的に0になるのは分かるのですが、具体的な証明方法が知りたいです。共感した0###自然数 n を n > x と取り固定しておきましょう。e^t のマクローリン展開はe^t=1+t+t^2/2!+・・・+t^k/k!+・・・ですから、e^t ≧ t^{n+1}/(n+1)!がすべての t > 0 で成り立ちます。従って t > 1 に対してt^x/e^t ≦ t^n/[ t^{n+1}/(n+1)! ] = (n+1)! /t → 0 (t → ∞)よりlim_{t → ∞} t^x/e^t = 0ナイス0
###xより大きな自然数を取ればよかったのですね。分かりやすい解説ありがとうございました。

 

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